Littlewoods tauberska sats

Inom matematiken är Littlewoods tauberska sats en förstärkning av Taubers sats introducerad av Littlewood (1911).

Satsen

Littlewoods sats säger att om a_n = O(1/n ) och

$\sum a_{n}x^{n}\to s,$

då x ↑ 1, då gäller

$\sum a_{n}=s.$

Hardy och Littlewood bevisade senare att hypotesen om a_n kan försvagas till a_n ≥ –C/n för någon konstant C. Kravet är dock på ett visst sätt optimalt: Littlewood bevisade att om c_n är en godtycklig obegränsad följd finns det en serie med |a_n| ≤ |c_n|/n som divergerar men är Abelsummerbar.

Historia

Littlewood (1953) beskriver upptäckten av sitt bevis av satsen. Taubers ursprungliga sats var lik Littlewoods, men med den starkare hypotesen att a_n=o(1/n). Hardy hade bevisat en likadan sats för Cesàrosummering med den svagare hypotesen a_n=O(1/n), och föreslog till Littlewood att samma svagare hypotes kunde räcka även med Taubers sats. Fastän hypotesen i Littlewoods sats är bara litet svagare än i Taubers, var Littlewoods bevis mycket svårare än Taubers, dock upptäckte Karamata senare ett enklare bevis

Littlewoods sats följer ur den senare Hardy–Littlewoods tauberska sats, som igen är ett specialfall av Wieners tauberska sats, som igen är ett specialfall av flera abstrakta tauberska satser om Banachalgebror.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Littlewood's Tauberian theorem, 11 februari 2015.

• Korevaar, Jacob (2004), Tauberian theory. A century of developments, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, "329", Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21058-0, https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-10225-1 
• Littlewood, J. E. (1953), ”A mathematical education”, A mathematician's miscellany, London: Methuen 
• Littlewood, J. E. (1911), ”The converse of Abel's theorem on power series”, Proceedings of the London Mathematical Society 9 (1): 434–448, doi:10.1112/plms/s2-9.1.434