Inom matematiken är Levinsons olikhet följande olikhet av Norman Levinson . Låt
a
>
0
{\displaystyle a>0}
f
{\displaystyle f}
derivata existerar i det öppna intervallet
(
0
,
2
a
)
{\displaystyle (0,2a)}
f
‴
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f'''(x)\geq 0}
för alla
x
∈
(
0
,
2
a
)
{\displaystyle x\in (0,2a)}
0
<
x
i
≤
a
{\displaystyle 0<x_{i}\leq a}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
0
<
p
{\displaystyle 0<p}
∑
i
=
1
n
p
i
f
(
x
i
)
∑
i
=
1
n
p
i
−
f
(
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
∑
i
=
1
n
p
i
)
≤
∑
i
=
1
n
p
i
f
(
2
a
−
x
i
)
∑
i
=
1
n
p
i
−
f
(
∑
i
=
1
n
p
i
(
2
a
−
x
i
)
∑
i
=
1
n
p
i
)
.
{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}
Ky Fans olikhet är ett specialfall av Levinsons olikhet med
p
i
=
1
,
a
=
1
2
{\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}}}
och
f
(
x
)
=
log
x
.
{\displaystyle f(x)=\log x.\,}
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Levinson's inequality , 11 december 2013 . Scott Lawrence och Daniel Segalman: A generalization of two inequalities involving means , Proceedings of the American Mathematical Society. Vol 35 No. 1, september 1972.
Norman Levinson: Generalization of an inequality of Ky Fan , Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134. 
