Lemaître–Tolman-metrik

Allmänna relativitetsteorin
	Introduktion · Historia · Matematik · Tester
Fundamentala begrepp
	Ekvivalensprincipen · Speciella relativitetsteorin · Världslinje · Riemannsk geometri
Fenomen
	Keplerproblemet · Gravitationslins · Gravitationsvåg · Ramdragning · Geodetisk effekt · Händelsehorisont · Singularitet · Svart hål
Rumtid
	Geodet · Minkowskidiagram · Minkowskirum · Maskhål
Ekvationer
	Linjäriserad gravitation · Einsteins fältekvationer · Friedmann · Mathisson–Papapetrou–Dixon · Hamilton–Jacobi–Einstein
Formalismer
	ADM · BSSN · Postnewtonsk
Avancerad teori
	Kaluza–Klein-teorin · Kvantgravitation · Alternativa teorier
Lösningar
	Schwarzschild · Reissner–Nordström · Gödel · Kerr · Kerr–Newman · Kasner · Lemaître–Tolman · Taub–NUT · Milne · Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker · pp-vågor · van Stockum-damm
Forskare
	Einstein · Lorentz · Hilbert · Poincaré · Schwarzschild · de Sitter · Reissner · Nordström · Weyl · Eddington · Friedmann · Milne · Zwicky · Lemaître · Gödel · Wheeler · Robertson · Bardeen · Walker · Kerr · Chandrasekhar · Ehlers · Penrose · Hawking · Raychaudhuri · Taylor · Hulse · van Stockum · Taub · Newman · Yau · Thorne
	Denna tabell: visa • redigera

Lemaître–Tolman-metrik (även Lemaître–Tolman–Bondi-metrik eller Tolmanmetrik) är inom matematisk fysik en sfäriskt symmetrisk lösning till Einsteins fältekvationer som först hittades av Lemaître (1933) och sedan Tolman (1934). Den undersöktes senare av Bondi (1947). Denna lösning beskriver ett sfäriskt moln av damm (ändligt eller oändligt) som expanderar eller kollapsar under gravitation.

Metriken är:

\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} t^{2}-{\frac {(R')^{2}}{1+2E}}\mathrm {d} r^{2}-R^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}

där:

\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}

R=R(t,r)~,~~~~~~~~R'=\partial R/\partial r~,~~~~~~~~E=E(r)>-{\frac {1}{2}}

Lösningen använder ett koordinatsystem med origo i dammsfärens centrum, vilket innebär att dess 4-hastighet är:

u^{a}=\delta _{0}^{a}=(1,0,0,0),

och sfäriska rumskoordinater $(r,\theta ,\phi )$ som följer med dammpartiklarna.

Trycket är noll (därav damm), densiteten är

8\pi \rho ={\frac {2M'}{R^{2}\,R'}}

och evolutionsekvationen är

{\dot {R}}^{2}={\frac {2M}{R}}+2E

där

{\dot {R}}=\partial R/\partial t

Evolutionsekvationen har tre lösningar, beroende på vilket tecken $E$ har,

E>0:~~~~~~~~R={\frac {M}{2E}}(\cosh \eta -1)~,~~~~~~~~(\sinh \eta -\eta )={\frac {(2E)^{3/2}(t-t_{B})}{M}}~;

E=0:~~~~~~~~R=\left({\frac {9M(t-t_{B})^{2}}{2}}\right)^{1/3}~;

E<0:~~~~~~~~R={\frac {M}{2E}}(1-\cos \eta )~,~~~~~~~~(\eta -\sin \eta )={\frac {(-2E)^{3/2}(t-t_{B})}{M}}~;

vilka är kända som hyperboliska, paraboliska respektive elliptiska evolutioner.

Betydelserna av de godtyckliga funktionerna, vilka enbart beror på $r$ , är:

$E(r)$ – både en lokal geometriparameter och dammpartiklarnas energi per massenhet vid radien $r$ ,
$M(r)$ – gravitationsmassan inom en sfär med radien $r$ ,
$t_{B}(r)$ – tiden för Big Bang för världslinjer med radien $r$ .