Landsberg–Schaars relation

Inom talteori och harmonisk analys är Landsberg–Schaars relation följande relation för positiva heltal p och q:

${\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right).$

Även om båda membrum är ändliga summor har man inte lyckats hitta något bevis med ändliga metoder. I allmänhet bevisas den genom att låta $\tau =2iq/p+\varepsilon$ med $\varepsilon >0$ i följande identitet av Jacobi (som är ett specialfall av Poissons summeringsformel i klassisk harmonisk analys)

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}\tau }={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}/\tau }$

och sedan låta $\varepsilon \to 0.$

Om vi låter q = 1 blir identiteten en formel för kvadratiska Gaussumman modulo p.

Landsberg–Schaars relation kan skrivas i den mer symmetriska formen

${\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {q}}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{q}}\right)$

om vi antar att pq är ett jämnt tal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Landsberg–Schaar relation, 30 januari 2014.