Lagranges restterm

Lagranges restterm är resttermen r(x) i en Taylorutveckling som också ges namnet Lagrange form. Med hjälp av uttrycket kan felet också uppskattas. Uttrycket har fått sitt namn från Joseph-Louis Lagrange som var den första hitta ett explicit uttryck för avvikelsen i en Taylorutveckling.

Sats

Lagranges restterm kan uttryckas enligt följande sats:

Om f är deriverbar till och med minst ordning n+1 på ett öppet intervall I och derivatorna f⁽ⁿ⁾ är kontinuerliga på det stängda intervallet mellan a och x, då är resttermen i f:s Taylorutveckling

R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}

,

för något ξ mellan x och a.

Bevis

Enligt förutsättningarna för en Taylorutveckling kring en punkt a är

R_{n}(x)=f(x)-p(x)

där

R_{n}(a)=0,\quad R_{n}'(a)=0\quad R_{n}''(a)=0\quad ,...,\quad R_{n}^{(n)}(a)=0.

och

R_{n}^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x),\qquad {\mbox{ för }}x\in I

.

Då är för varje fixt x $\in$ I

R_{n}(x)=R_{n}(x)-R_{n}(a)=\int _{a}^{x}R_{n}'(t)\,dt=\int _{a}^{x}1\cdot R_{n}'(t)\,dt.

Med partiell integration och (t-x) som primitiv till 1 fås

R_{n}(x)=\left[{(t-x)R_{n}'(t)}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}(x-t)R_{n}''(t)\,dt=

=((x-x)R_{n}'(x)\ -\ (a-x)R_{n}'(a))+\int _{a}^{x}(x-t)R_{n}''(t)\,dt=

=(0\ -\ 0)+\int _{a}^{x}(x-t)R_{n}''(t)\,dt=\int _{a}^{x}(x-t)R_{n}''(t)\,dt.

Fortsatt partiell integration (med R_n(a) = 0, R_n'(a)=0,..., R_n⁽ⁿ⁾(a)=0) ger att

R_{n}(x)=\left[{{-(x-t)^{2} \over 2}R_{n}''(t)}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{(x-t)^{2} \over 2}R_{n}^{(3)}(t)\,dt=0\ +\ \int _{a}^{x}{(x-t)^{2} \over 2}R_{n}^{(3)}(t)\,dt=

=\left[{{-(x-t)^{3} \over 3!}R_{n}^{(3)}(t)}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{(x-t)^{3} \over 3!}R_{n}^{(4)}(t)\,dt=\int _{a}^{x}{(x-t)^{3} \over 3!}R_{n}^{(4)}(t)\,dt=\ ...\ =

=\left[{{-(x-t)^{n-1} \over {(n-1)!}}R_{n}^{(n-1)}(t)}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1} \over {(n-1)}!}R_{n}^{(n)}(t)\,dt=\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1} \over {(n-1)}!}R_{n}^{(n)}(t)\,dt=

=\left[{{-(x-t)^{n} \over n!}R_{n}^{(n)}(t)}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{(x-t)^{n} \over n!}R_{n}^{(n+1)}(t)\,dt=\int _{a}^{x}{R_{n}^{(n+1)}(t) \over n!}(x-t)^{n}\,dt.

Med R_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) fås R_n(x) uttryckt på så kallad integralform där

R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{f^{(n+1)}(t) \over n!}(x-t)^{n}\,dt.

Eftersom faktorn (x-t)ⁿ ej växlar tecken för fixt x och t mellan a och x finns enligt den generaliserade medelvärdessatsen något tal ξ mellan a och x sådant att

R_{n}(x)=f^{(n+1)}(\xi )\int _{a}^{x}{(x-t)^{n} \over n!}\,dt=f^{(n+1)}(\xi )\cdot \left[{-(x-t)^{n+1} \over {(n+1)!}}\right]_{a}^{x}=

={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}

vilket är Lagranges form för resttermen.

Uppskattning av restterm

Med hjälp av Lagranges restterm så kan resten vid en Taylorutveckling uppskattas.

Exempel

Approximation av e^x (blå) med sitt Taylorpolynom *P_n* av ordning n=1,...,7 centrerad vid x=0 (röd).

Antag att funktionen f(x) = e^x ska uppskattas på intervallet [-1,1] med ett fel mindre än 10^-5. Exemplet utgår endast från att följande egenskaper hos exponentialfunktionen är kända:

(*)\qquad e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .

Från dessa egenskaper följer att f⁽ⁿ⁾(x) = e^x för alla n, och särskilt är f⁽ⁿ⁾(0) = 1. Följaktligen ges Taylorpolynomet av f vid 0 och resttermen på Lagrange form av

P_{n}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}},\qquad R_{n}(x)={\frac {e^{\xi }}{(n+1)!}}x^{n+1},

där ξ är något tal mellan 0 och x. Eftersom e^x är strängt växande enligt (*) ses direkt att e^x ≤ 1 för x ∈ [−1, 0] kan användas som övre gräns för resten på intervallet [−1, 0]. För att hitta en gräns på det övre intervallet [0,1] utnyttjas att e^ξ<e^x med 0<ξ<x så att