L²-kohomologi

Inom matematiken är L²–kohomologi en kohomologiteori för differentierbara okompakta mångfalder M med Riemannmetrik. Den definieras på samma sätt som de Rhamkohomologi förutom att man använder kvadratiskt integrerbara differentialformer. Beteckningen av kvadratiskt integrerbar kan användas eftersom ur metriken över M uppstår en norm över differentialformer och en volymform.

L²-kohomologi studerades oberoende av Steven Zucker (1978) och Jeff Cheeger (1979). Den är nära relaterad till snittkohomologi.

Ett resultat inom L²–kohomologi är Zuckers förmodan, som säger att för en hermiteisk lokalt symmetrisk varietet är L²–kohomologin isomorfisk till snittkohomologin av dess Baily–Borelkompaktifiering (Zucker 1982). Detta bevisades på olika sätt av Looijenga (1988) och Saper och Stern (1990).

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, L² cohomology, 1 mars 2014.

Atiyah, M. F (1976). ”Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras”. Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974). Paris: Soc. Math. France. sid. 43–72. Ast\'erisque, No. 32–33
B. Brent Gordon (2001), ”Baily–Borel compactification”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Cheeger, Jeff Spectral geometry of singular Riemannian spaces. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 4, 575–657 (1984).MR 0730920
Cheeger, Jeff On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds. Geometry of the Laplace operator (Proc. Sympos. Pure Math., Univ. Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp. 91–146, Proc. Sympos. Pure Math., XXXVI, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1980. MR 0573430
Cheeger, Jeff On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 76 (1979), no. 5, 2103–2106. MR 0530173
J. Cheeger, M. Goresky, R. MacPherson, L² cohomology and intersection homology for singular algebraic varieties, Seminar on differential geometry, vol. 102 of Annals of Mathematics Studies, pages 303–340.MR 0645745
M. Goresky L² cohomology is intersection cohomology
Frances Kirwan, Jonathan Woolf An Introduction to Intersection Homology Theory,, chapter 6 ISBN 1-58488-184-4
Looijenga, Eduard L²-cohomology of locally symmetric varieties. Compositio Mathematica 67 (1988), no. 1, 3–20. MR 0949269
Lueck, Wolfgang (2002). L²-invariants: theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. "44". Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43566-2
Saper, Leslie; Stern, Mark L₂-cohomology of arithmetic varieties. Ann. of Math. (2) 132 (1990), no. 1, 1–69. MR 1059935
Zucker, Steven, Théorie de Hodge à coefficients dégénérescents. Comptes Rendus Acad. Sci. 286 (1978), 1137–1140.
Zucker, Steven, Hodge theory with degenerating coefficients: L²-cohomology in the Poincaré metric. Annals of Math. 109 (1979), 415–476.
Zucker, Steven, L²-cohomology of warped products and arithmetic groups. Inventiones Math. 70 (1982), 169–218.