Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering innebär att skriva om ett andragradspolynom (polynom av grad 2) av formen

$x^{2}+px+q\qquad (1)$

till formen

$\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\qquad (2)$.

Med hjälp av kvadreringsregeln $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$ kan (2) utvecklas, vilket visar att (2) är ekvivalent med (1):

$\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\ =$

$x^{2}+2\cdot {\frac {px}{2}}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q=x^{2}+px+q$.

Kvadratkomplettering används bland annat för att lösa andragradsekvationer.

Exempel

• För att hitta de två lösningarna till ekvationen

$x^{2}+32x-33=0$

kan kvadratkomplettering användas:

$x^{2}+32x-33=\left(x+{\frac {32}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {32}{2}}\right)^{2}-33=\left(x+16\right)^{2}-289$

Sätt ovanstående lika med noll och lös

$\left(x+16\right)^{2}-289=0\quad \Rightarrow$

$\left(x+16\right)^{2}=289\quad \Rightarrow$

$x+16=\pm 17\quad \Rightarrow$

$x=-16\pm 17\quad \Rightarrow$

$x=1~~\mathrm {eller} ~~x=-33$

• Med kvadratkomplettering går det att lokalisera andragradspolynoms minsta värden:

$x^{2}+px+q=\underbrace {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}} _{\geq 0}+\left(q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right)\geq q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}$

Olikheten visar att det minsta värdet

$q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}$

antas då

$x=-{\frac {p}{2}}$.

Se även

• polynom
• andragradsekvation