Invers funktion

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen $f^{-1}:Y\to X$ till en funktion $f$ är sådan att $f^{-1}(f(x))=x$ för alla $x\in X$ och $f(f^{-1}(y))=y$ för alla $y\in Y$ .

En funktion f har en invers funktion om och endast om f är bijektiv.

Inverterbar funktion

En funktion $f\,$ är inverterbar om och endast om den är bijektiv, det vill säga

$f(x_{1})=f(x_{2})\ \Rightarrow \ x_{1}=x_{2}\$ för alla $x_{1},x_{2}$ i funktionens definitionsmängd – funktionsvärdena i två punkter ur funktionens definitionsmängd, kan endast vara desamma om punkterna också är desamma (injektivitet).
Det finns något $x$ sådant att $f(x)=y$ för alla $y$ i målmängden till $f$ – funktionens värdemängd är densamma som dess målmängd (surjektivitet).

En funktion som inte är surjektiv kan göras surjektiv genom att begränsa målmängden till värdemängden.

Exempel

Funktionerna $f(x)=2x\,$ och $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}$ är varandras inverser.

Exponentialfunktionen $x\mapsto a^{x}$ med basen a > 0 och de positiva reella talen som målmängd är invers till logaritmfunktionen

y\mapsto \log _{a}y,\quad y>0

.

Källor

R. Creighton Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Company, New York 1956.
Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2

Se även