Invariant av en binär form

Inom matematisk invariantteori är en invariant av en binär form ett polynom i koefficienterna för en binär form i två variabler x och y som inte ändras när den speciella linjära gruppen verkar på variablerna x och y.

Terminologi

En binär form (av grad n) är ett homogent polynom Σni=0 (ni)a_n−ixⁿ⁻ⁱyⁱ = a_nxⁿ + (n1)a_n−1xⁿ⁻¹y + ... + a₀yⁿ. Gruppen SL₂(C) verkar på dessa genom att ta x till ax + by och y till cx + dy. Detta inducerar en verkan på rummet genererat av a₀, ..., a_n och på polynomen i dessa variabler. En invariant är ett polynom i dessa n + 1 variabler a₀, ..., a_n som är invariant under denna verkan. Mer allmänt är en kovariant ett polynom i a₀, ..., a_n, x, y som är invariant, så en invariant är ett specialfall av en kovariant där variablerna x och y inte förekommer. Ännu mer allmänt är en simultan invariant ett polynom i koefficienterna av flera olika former i x och y.

Man kan också formulera detta representationsteoretiskt. Givet en representation V av gruppen SL₂(C), kan man fråga efter ringen av invarianta polynom på V. Invarianter av en binär form av grad n motsvarar då att ta V som den (n + 1)-dimensionella irreducibla representationen, och kovarianter motsvarar att ta V som summan av de irreducibla representationerna av dimensionerna 2 och n + 1.

Invarianterna av en binär form bildar en graderad algebra, och Gordan (1868) bevisade att denna algebra är ändligtgenererad, om baskroppen är C.

Exempel

En form f själv är en invariant av grad 1 och ordning n.

Diskriminanten av en form är en invariant.

Resultanten av två former är en simultan invariant av dem.

Hessianska kovarianten av en form Hilbert (1993, p.88) är determinanten av Hessmatrisen

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.$

Den är en kovariant av ordning 2n− 4 och grad 2.

Katalektikanten är en invariant av grad n/2+1 av en binär form av jämn grad n.

Kanonisanten är en kovariant av grad och ordning (n+1)/2 av en binär form av udda grad n.

Jacobimatrisen

$\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}$

är en simultan invariant av två former f, g.

Ringen av invarianter

Strukturen av ringen av invarianter är känd för små grader. Sylvester & Franklin (1879) gav tabeller av antalet generatorer av invarianter och kovarianter för former av grad upp till 10, dock med vissa mindre fel, där oftast någon invariant eller kovariant har utelämnats.

Kovarianter av en binär linjär form

För linjära former ax + by är de enda invarianterna konstanter. Algebran av kovarianter är genererad av formen själv av grad 1 och ordning 1.

Kovarianter av en binär kvadratisk form

Algebran av invarianter av en kvadratisk form ax² + 2bxy + cy² är en polynomalgebra i 1 variabel genererad av diskriminanten b² − ac av grad 2. Algebran av kovarianter är en polynomalgebra i 2 variabler genererad av diskriminanten tillsammans med formen f själv (av grad 1 och ordning 2). (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVI, XX)

Kovarianter av en binär form av grad åtta

Sylvester & Franklin (1879) bevisade att ringen av invarianter av en form av grad 8 är genererad av 9 invarianter av grader 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, och att ringen av kovarianter är genererad av 69 covarianter. August von Gall (von Gall (1880)) och Shioda (1967) bekräftade generatorerna för ringen av invarianter och bevisade att idealet av relationer mellan dem är genererat av eöement av grader 16, 17, 18, 19, 20.

Kovarianter av en form av grad nio

Brouwer & Popoviciu (2010a) bevisade att algebran av invarianter av en form av grad 9 är genererad av 92 invarianter.

Kovarianter av en form av grad elva

Ringen av invarianter av binära former av grad 11 är komplicerad och har inte ännu beskrivits explicit.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Invariant of a binary form, 8 juni 2015.

• Brouwer, Andries E.; Popoviciu, Mihaela (2010a), ”The invariants of the binary nonic”, Journal of Symbolic Computation 45 (6): 709–720, doi:10.1016/j.jsc.2010.03.003, ISSN 0747-7171 
• Brouwer, Andries E.; Popoviciu, Mihaela (2010b), ”The invariants of the binary decimic”, Journal of Symbolic Computation 45 (8): 837–843, doi:10.1016/j.jsc.2010.03.002, ISSN 0747-7171 
• Dixmier, Jacques; Lazard, D. (1988), ”Minimum number of fundamental invariants for the binary form of degree 7”, Journal of Symbolic Computation 6 (1): 113–115, doi:10.1016/S0747-7171(88)80026-9, ISSN 0747-7171 
• von Gall, August Freiherr (1880), ”Das vollständige Formensystem einer binären Form achter Ordnung”, Mathematische Annalen 17 (1): 31–51, doi:10.1007/BF01444117, ISSN 0025-5831 
• von Gall, August Freiherr (1888), ”Das vollständige Formensystem der binären Form 7^terOrdnung”, Mathematische Annalen 31 (3): 318–336, doi:10.1007/BF01206218, ISSN 0025-5831 
• Gordan, Paul (1868), ”Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist”, J. F. Math 69 (69): 323–354, doi:10.1515/crll.1868.69.323 
• Hilbert, David (1993) [1897], Theory of algebraic invariants, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44457-6, http://books.google.com/books?isbn=0521449030 
• Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo (1984), ”The invariant theory of binary forms”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 10 (1): 27–85, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, http://www.ams.org/journals/bull/1984-10-01/S0273-0979-1984-15188-7 
• Schur, Issai (1968), Grunsky, Helmut, red., Vorlesungen über Invariantentheorie, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, "143", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-04139-9 
• Shioda, Tetsuji (1967), ”On the graded ring of invariants of binary octavics”, American Journal of Mathematics 89 (4): 1022–1046, doi:10.2307/2373415, ISSN 0002-9327 
• Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in invariant theory, Texts and Monographs in Symbolic Computation, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-211-77417-5, ISBN 978-3-211-82445-0 
• Sylvester, J. J.; Franklin, F. (1879), ”Tables of the Generating Functions and Groundforms for the Binary Quantics of the First Ten Orders”, American Journal of Mathematics 2 (3): 223–251, doi:10.2307/2369240, ISSN 0002-9327 
• Sylvester, James Joseph (1881), ”Tables of the Generating Functions and Groundforms of the Binary Duodecimic, with Some General Remarks, and Tables of the Irreducible Syzygies of Certain Quantics”, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 4 (1): 41–61, doi:10.2307/2369149, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2369149 

Externa länkar

• Brouwer, Andries E., Invariants of binary forms, http://www.win.tue.nl/~aeb/math/invar.html