Hardy–Littelwoods zetafunktionsförmodanden

Inom matematiken är Hardy–Littlewoods zetafunktion-förmodanden, uppkallade efter Godfrey Harold Hardy och John Edensor Littlewood, två förmodanden gällande avståndet mellan och densiteten av nollställena av Riemanns zetafunktion.

Låt $N(T)$ vara totala antalet nollställen och $N_{0}(T)$ totala antalet nollställen av udda ordning av funktionen $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ i intervallet $(0,T]$.

Hardy och Littlewood gjorde två förmodanden. Dessa förmodanden öppnade nya riktningar inom zetafunktionens teori.

1. För alla $\varepsilon >0$ finns det $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ så att för $T\geq T_{0}$ och $H=T^{0.25+\varepsilon }$ innehåller intervallet $(T,T+H]$ ett nollställe av udda ordning av funktionen $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$.

2. För alla $\varepsilon >0$ finns det $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ och $c=c(\varepsilon )>0$ så att för $T\geq T_{0}$ och $H=T^{0.5+\varepsilon }$ gäller olikheten $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH$.

1942 studerade Atle Selberg problemet 2 och bevisade att för alla $\varepsilon >0$ finns det $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ och $c=c(\varepsilon )>0$ sådant att för $T\geq T_{0}$ och $H=T^{0.5+\varepsilon }$ gäller olikheten $N(T+H)-N(T)\geq cH\log T$.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hardy–Littlewood zeta-function conjectures, 24 januari 2014.