Hölderkontinuitet

Inom matematik säges en funktion f på $\mathbb {R} ^{d}$ vara Hölderkontinuerlig eller uppfylla ett Höldervillkor om det finns konstanter C och $\alpha$ så att

$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{d},~~|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.$

Detta kan generaliseras till funktioner mellan metriska rum; om g är en funktion från metriska rummet $(X,d_{X})$ till $(Y,d_{Y})$ är g Hölderkontinuerlig om det finns konstanter C och $\alpha$ så att:

$\forall x,y\in X,~~d_{Y}(f(x),f(y))\leq C(d_{X}(x,y))^{\alpha }.$

Speciellt, om $\alpha =1$ är funktionen Lipschitzkontinuerlig och om $\alpha =0$ är funktionen en begränsad funktion.

Inom funktionalanalys studeras Hölderrum i syfte att lösa partiella differentialekvationer. Hölderrummet $C^{n,\alpha }(\Omega )$, där $\Omega$ är en öppen delmängd till något euklidiskt rum och n något naturligt tal, består av funktioner som har derivator upp till ordning n så att n:te ordningens partiella derivatorer är Hölderkontinuerliga med exponent $\alpha$, där $0<\alpha \leq 1$.