Goormaghtighs förmodan

Goormaghtighs förmodan är en förmodan inom talteori uppkallad efter den belgiske matematikern René Goormaghtigh. Förmodan säger att de enda heltalslösningarna till

{\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}

som uppfyller x > y > 1 och m, n > 2 är

(x, y, m, n) = (5, 2, 3, 5) och
(x, y, m, n) = (90, 2, 3, 13).^[1]

Detta kan också formuleras som att 31 och 8191 är de enda tal som skrivs med endast ettor (minst tre) i två olika baser.

31={\frac {2^{5}-1}{2-1}}={\frac {5^{3}-1}{5-1}}

8191={\frac {2^{13}-1}{2-1}}={\frac {90^{3}-1}{90-1}}

De indiska matematikerna Ramachandran Balasubramanian och Tarlok Nath Shorey bevisade 1980 att det bara kan förekomma ett ändligt antal lösningar till ekvationen.^[2] Däremot är problemet som helhet fortfarande olöst.^[3]

Referenser

Noter

^ Abdollahi och Hassanabadi (2007). ”Goormaghtigh conjecture”. Planetmath.org. http://planetmath.org/goormaghtighconjecture. Läst 15 oktober 2013.
^ Balasubramanian och Shorey (1980). ”On the equation a(xm − 1)/(x − 1) = b(yn − 1)/(y − 1)”. Mathematica Scandinavica (46): sid. 177-182.
^ Guy, Richard (2000). ”Unsolved Problems in Number Theory”. Springer förlag. http://books.google.se/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA432&lpg=PA432&dq=goormaghtigh+conjecture&source=bl&ots=TjpuhYEMry&sig=suzL2X6p0yO179nGaabyVrPzbdw&hl=sv&sa=X&ei=fE5dUua3Dabv4QTzsoDoDw&ved=0CGwQ6AEwCTgK#v=onepage&q=goormaghtigh%20conjecture&f=false. Läst 15 oktober 2013.

Källor

Baker och Wüstholz, “Logarithmic forms and group varieties”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 442 (1993), 19–62.
Davenport, Lewis och Schinzel, “Equations of the form f(x) = g(y)”, Quarterly Journal of Mathematics: Oxford Journals, 12 (1961), 304–312.
Goormaghtigh, “L’Intermédiaire des Mathématiciens”, 24 (1917), 88.
Guy, Richard K., “Unsolved Problems in Number Theory”, Springer-Verlag (2004), 242, ISBN 0-387-20860-7.
T. Nagell, ”The diophantine equation x2 + 7 = 2n” , Arkiv för Matematik 4 (1961), 185–187.
S. Ramanujan, “Question 464”, The Journal of the Indian Mathematical Society, 5 (1913), Collected Papers, Cambridge Univiversity Press (1927), 327.
N. Saradha och T. N. Shorey, “On the equation (x+1) . . . (x+k) = (y+1) . . . (y+mk)” , Indagationes Mathematicae, 3 (1992), 79–90.
T. N. Shorey, “On the equation a(xm −1)/(x−1) = b(yn −1)/(y −1) (II)”, Hardy Ramanujan Journal, 7 (1984), 1–10.
—, “Integers with identical digits”, Acta Arithmetica, 53 (1989), 187–205.

[conjecture-1] Abdollahi och Hassanabadi (2007). ”Goormaghtigh conjecture”. Planetmath.org. http://planetmath.org/goormaghtighconjecture. Läst 15 oktober 2013.

[bevis-2] Balasubramanian och Shorey (1980). ”On the equation a(xm − 1)/(x − 1) = b(yn − 1)/(y − 1)”. Mathematica Scandinavica (46): sid. 177-182.

[unsolved-3] Guy, Richard (2000). ”Unsolved Problems in Number Theory”. Springer förlag. http://books.google.se/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA432&lpg=PA432&dq=goormaghtigh+conjecture&source=bl&ots=TjpuhYEMry&sig=suzL2X6p0yO179nGaabyVrPzbdw&hl=sv&sa=X&ei=fE5dUua3Dabv4QTzsoDoDw&ved=0CGwQ6AEwCTgK#v=onepage&q=goormaghtigh%20conjecture&f=false. Läst 15 oktober 2013.

[1]

[2]

[3]