Inom matematiken är Eulers kedjebråksformel en viss identitet mellan en serie med ett kedjebråk . Formeln bevisades av Euler och publicerades 1748. Formeln är
a
0
+
a
0
a
1
+
a
0
a
1
a
2
+
⋯
+
a
0
a
1
a
2
⋯
a
n
=
a
0
1
−
a
1
1
+
a
1
−
a
2
1
+
a
2
−
⋱
⋱
a
n
−
1
1
+
a
n
−
1
−
a
n
1
+
a
n
{\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,}
Den kan lätt kontrolleras med induktion .
e
x
=
x
0
0
!
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
1
+
x
1
−
1
x
2
+
x
−
2
x
3
+
x
−
3
x
4
+
x
−
⋱
{\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}
log
(
1
+
x
)
=
x
1
1
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
=
x
1
−
0
x
+
1
2
x
2
−
1
x
+
2
2
x
3
−
2
x
+
3
2
x
4
−
3
x
+
⋱
{\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Euler's continued fraction formula , 5 januari 2014 . H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 . 
