Eulers ekvationer

Eulers ekvationer beskriver rörelsen hos ideala fluider, dvs inkompressibla fluider med konstant densitet. Ekvationerna formulerades av Leonhard Euler 1755.

Kraften som verkar på ett fluidelement beskrivs av

$p\mathbf {n} \delta \mathbf {S}$

där p(x,y,z,t) är en skalär funktion oberoende av normalen, n, och benämns tryck.

Om vi fixerar en kub med volymen, V, i fluiden och sidan S som har normalen riktad ut från kuben, så kommer flödet in i V via vissa delar av S och ut från andra. Hastighetskomponenten längs normalen är u $\cdot$ n, vilket ger att volymen som lämnar kuben genom en liten del av ytan, $\delta$ S under en tidsenhet blir u $\cdot$ n$\delta$ S. Nettovolymen av utflödet blir då

$\int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} d\mathbf {S}$

Detta är självklart noll för en inkompressibel fluid och med hjälp av divergenssatsen fås

$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {u} d\mathbf {V} =0$

Detta måste vara sant i hela fluiden. Anta nu att $\nabla \cdot \mathbf {u}$ är större än noll i någon punkt i fluiden. Förutsatt kontinuitet ger det att $\nabla \cdot \mathbf {u}$ är större än noll i en liten sfär runt punkten och om V skulle vara den sfären så strider det mot ovanstående ekvation. Samma sak fås om $\nabla \cdot \mathbf {u}$ är mindre än noll och därmed kan vi dra slutsatsen att

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

överallt i fluiden.

Följderna av uttrycket för kraften tydliggörs genom att betrakta en färgad blob av fluiden. Nettokraften som utövas på blobben är

$-\int _{S}p\mathbf {n} d\mathbf {S} =-\int _{V}\nabla pd\mathbf {V}$

Minustecknen kommer av att n är riktad ut från S. Förutsatt att $\nabla p$ är kontinuerlig, kommer trycket att vara konstant över en liten blob med volymen $\delta$V. Nettokraften blir då $\nabla p\delta$V över blobben.

Nu kan vi lägga till gravitationens inverkan och får

$(-\nabla p+\rho \mathbf {g} )\delta V$

Denna kraft måste vara samma som produkten av blobbens massa (som är konserverad) och dess acceleration, vilket är

$\rho \delta V{\frac {{\mbox{D}}\mathbf {u} }{{\mbox{D}}t}}$

Därmed får vi

${\frac {{\mbox{D}}\mathbf {u} }{{\mbox{D}}t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g}$

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

som är de grundläggande rörelseekvationerna för en ideal fluid (Eulers ekvationer). Utskrivna blir de

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}},$

${\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}},$

${\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}-g,$

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0$

Eftersom gravitationen är konservativ kan den skrivas som gradienten till en potential:

$\mathbf {g} =-\nabla \xi$

Nu kan Euler's ekvation skrivas om på formen

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho }}+\xi \right)$

där $\rho$ förutsätts konstant.

Vidare kan det vara användbart att utnyttja identiteten

$(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\nabla (\mathbf {u} ^{2})$

för att få rörelseekvationen på formen

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {u} ^{2}+\xi \right)$

Vilket leder till Bernoulli's strömlinjeteorem.

Källor

• D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford applied mathematics and computing science series. ISBN 978-0-19-859679-0.