Ehrlings lemma

Inom matematiken är Ehrlings lemma (efter Gunnar Ehrling) ett resultat om Banachrum. Den används ofta inom funktionalanalys för att demonstrera ekvivalensen av normer över Sobolevrum.

Lemmat

Låt (X, ||·||_X), (Y, ||·||_Y) och (Z, ||·||_Z) vara tre Banachrum. Anta att

• X ⊆ Y och att varje ||·||_X-begränsad följd i X har en delföljd som ||·||_Y-konvergerar, och att
• Y ⊆ Z och att det finns en konstant k så att ||y||_Z ≤ k||y||_Y för alla y ∈ Y.

Då finns det för alla ε > 0 en konstant C(ε) så att för alla x ∈ X är

$\|x\|_{Y}\leq \varepsilon \|x\|_{X}+C(\varepsilon )\|x\|_{Z}$

Korollarium (ekvivalenta normer för Sobolevrum)

Låt Ω ⊂ Rⁿ vara en öppen och sluten mängd och låt k ∈ N. Anta att Sobolevrummet H^k(Ω) är kompakt inbäddat i H^k-1(Ω). Då är följande två normer över H^k(Ω) ekvivalenta:

$\|\cdot \|:H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|:={\sqrt {\sum _{|\alpha |\leq k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}$

och

$\|\cdot \|':H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|':={\sqrt {\|u\|_{L^{1}(\Omega )}^{2}+\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ehrling's lemma, 2 februari 2014.

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (1992). An Introduction to Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97952-4