Dualbas

En dualbas är ett begrepp inom linjär algebra som syftar på en speciell bas i ett vektorrums dualrum, givet en bas i det ursprungliga vektorrummet.

Definition

Givet ett ändligtdimensionellt vektorrum V och en bas till V bestående av element (e_i), konstrueras en dualbas bestående av element (f_i) i dualrummet V^* genom:

$f_{i}(e_{j})={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}.$

Linjäriteten hos funktionalerna f_i gör att detta definierar f_i:s värde för alla vektorer i V. Andra notationer för f_i är e_i^* och eⁱ.

Om V är ett ändligtdimensionellt vektorrum är dualbasen en bas för dualrummet. Är V oändligtdimensionellt är detta inte garanterat.

Exempel

Komplexa tal

Om man betraktar de komplexa talen som vektorrum över de reella talen och väljer basvektorerna 1 och i blir dualbasen Re och Im, de funktioner som avbildar ett komplext tal på dess real- respektive imaginärdel.

Polynomrum

Låt V vara vektorrummet bestående av polynom med grad mindre än eller lika med 2, dvs polynom på formen ax² + bx + c. Ta {1, x, x²} som bas för V. Vi får då dualbasen {f₁, f₂, f₃}:

$f_{1}(ax^{2}+bx+c)=af_{1}(x^{2})+bf_{1}(x)+cf_{1}(1)=c$

$f_{2}(ax^{2}+bx+c)=af_{2}(x^{2})+bf_{2}(x)+cf_{2}(1)=b$

$f_{3}(ax^{2}+bx+c)=af_{3}(x^{2})+bf_{3}(x)+cf_{3}(1)=a$

Dualbasvektorerna kan tolkas som:

$f_{1}(p)=p(0)\qquad f_{2}(p)={\frac {dp}{dx}}(0)\qquad f_{3}(p)={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}(0)$.

Referenser

• Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 

Se även

• Reflexivt rum