Dolbeaultkohomologi

Inom matematiken är Dolbeaultkohomologi (uppkallat efter Pierre Dolbeault) en analogi av de Rhamkohomologi för komplexa mångfalder. Låt M vara en komplex mångfald. Då är Dolbeaultkohomologigrupperna H^p,q(M,C) med p och q heltal realiserade som delkvoter av rummet av komplexa differentialformer av grad (p,q).

Konstruktion av Dolbeaultkohomologin

Låt Ω^p,q vara vektorknippet av komplexa differentialformer av grad (p,q). Dolbeaultoperatorn

${\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\rightarrow \Gamma (\Omega ^{p,q+1})$

har, eftersom

${\bar {\partial }}^{2}=0,$

en associerad kohomologi. Mer specifikt definieras Dolbeaultkohomologigrupperna som kvoten

$H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {{\hbox{ker}}\left({\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\rightarrow \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)}{{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1})}}.$

Dolbeaults sats

Dolbeaults sats är en komplex analogi av de Rhams sats. Den säger att Dolbeaultkohomologin är isomorfisk till kärvekohomologin av kärven av analytiska differentialformer. Mer specifikt är

$H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})$

där Ω^p är kärven av analytiska p-former på M.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dolbeault cohomology, 12 februari 2015.

Allmänna källor

• Dolbeault, P. (1953). ”Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes”. C. R. Acad. Sci. Paris 236: sid. 175–277. 
• Wells, R.O. (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0