Cyklisk modul

En cyklisk modul är inom ringteori en (vänster- eller höger)modul som genereras av ett enda element. Speciellt är den alltså en ändligtgenererad modul.

Med andra ord är en vänstermodul M över en unitär ring A cyklisk om det finns något element x i modulen sådant att varje element i modulen kan skrivas som en multipel av ett ringelement och x. Formellt kan detta uttryckas som att

M=Ax=\{ax|a\in A\}\,

för något $x\in M$ .

Ett exempel är enkla moduler, då varje nollskilt element i en enkel modul genererar hela modulen. Om till exempel M är en enkel vänstermodul över den unitära ringen A, och x ≠ 0 är ett element i M, så är Ax = { ax : a ∈ A } en nollskild delmodul av M. Eftersom M enligt antagandet inte har några andra delgrupper än 0 och M själv, måste Ax = M, det vill säga, x genererar hela M. Detta innebär att varje enkel modul är en cyklisk modul. Notera dock att det omvända inte gäller i allmänhet.

Exempel

Ett linjärt rum är cykliskt (som modul över sin kropp av skalärer) precis om det har dimension högst ett.
En abelsk grupp är cyklisk som modul över Z precis om den är cyklisk som grupp.
Varje nollmodul och varje enkel modul är cyklisk, se förra stycket.
Ett ensidigt ideal är cykliskt precis om det är ett principalideal.

Egenskaper

Givet en cyklisk A-modul M, som generas av x ∈ M, finns det en kanonisk isomorfi mellan M och A / Ann_Ax, där Ann_Ax betecknar annihilatorn till x inA.
Om M är en cyklisk delmodul av A och M inte är nolldelmodulen, så har M minst en maximal äkta delmodul.

Se även