1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen
![{\displaystyle A_{n}={2n \choose n}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots (2n-1)\cdot (2n)}{(1\cdot 2\cdots n)\cdot (1\cdot 2\cdots n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aca2b25ee8c9e493d3ac31af773495f50df0d1c)
där n är ett heltal och
betecknar en binomialkoefficient. Exempelvis är
![{\displaystyle A_{3}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3}}=20.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542f9552dd56cfce0fca161538290be3cb8edaad)
Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (talföljd A000984 i OEIS). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel.
En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som
![{\displaystyle A_{n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9bf84945ed42ad14d3e22f6eeecf12b0c5a319)
och med en semifakultet som
![{\displaystyle A_{n}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9fab2a99905f267913ec5c99d79335038596f0d)
De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen Cn som ges av
![{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}A_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d779491d354b94c2c27b5cb62afbc1e89336f802)
Enligt Stirlings formel gäller
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<A_{n}<{\sqrt {2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b79e7ddd9aabf4e5cc940487faa35bd0bbf860)
En noggrannare olikhet är
för alla ![{\displaystyle n\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f9176dbc447117f4bf4eb2cbe6749f669e60ab)
Ett gränsvärde är
.
Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:
![{\displaystyle A_{n}={\frac {4n-2}{n}}A_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1f8353666f1437628859273df6f625158fdccc)
![{\displaystyle A_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054cc45ecea5ceda751e9b90b4d4da4fa8ebbd0a)
![{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}A_{r}=\sum _{i+j+k=n}{i+j \choose i}{j+k \choose j}{k+i \choose k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b56c586def0b800edc35bf2b460c79cd77d189b)
Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.
Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten
aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.
Wolstenholmes sats kan användas för att visa att
![{\displaystyle A_{p}\equiv 2\mod p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb006a8a7367d44d8538bb51a28b384fbcbd7ecb)
för alla primtal p > 3.
De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2281cf1b6671568449684ee8f8a5818871c1c06)
Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt
.
De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen
![{\displaystyle A_{z}={\frac {2^{2z+1}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{z+1}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b34857b79245ed7161315eb920f89cc50fd9f7)
Serier av inversa centrala binomialkoefficienter[redigera | redigera wikitext]
I allmänhet är
![{\displaystyle S(k)\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}A_{n}}}={\,_{k+1}F_{k}}\left({\begin{matrix}\\\underbrace {1,\ldots ,1;} \\k+1\end{matrix}}\;\;{\frac {3}{2}},\;\;{\begin{matrix}\\\underbrace {2,\ldots ,2;} \\k-1\end{matrix}}\;\;{\frac {1}{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4a27e4190bd4dce0243fe74455cb5f92baa315)
där pFq betecknar en hypergeometrisk funktion. Som specialfall gäller exempelvis
![{\displaystyle S(0)={\frac {2\pi {\sqrt {3}}+9}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6386662d3a82592d3fe8ea08b8fffcc8098534da)
![{\displaystyle S(1)={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ccebec1a34c5fe5c8c083722ef0581bd5cf65c4)
![{\displaystyle S(2)={\frac {\zeta (2)}{3}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e082cea01a651436121fd3b65d3d9799652c62b8)
![{\displaystyle S(3)={\frac {\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{1}(1/3)-\psi _{1}(2/3)\right)}{18}}-{\frac {4\zeta (3)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0f38ef15fc4744f1b27807b84e52ffbd7da3da)
![{\displaystyle S(4)={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bb4ddfcfbe66921f52b421ce1f289732be229e)
![{\displaystyle S(5)={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121aeba26f7a799a9ed6e6393dac956a2177116d)
där ζ betecknar Riemanns zetafunktion och ψn betecknar polygammafunktionen. Fler sådana summor ges av Weisstein.
En analogisk serie är
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {-1}{4}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ba390d5eea900bea19dfbac88a524839fd5ef6)
Några specialfall av den är
.