Bernoullipolynomen är en serie polynom som är relaterade till ett flertal speciella funktioner.
![{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c14255c79d8457cb76fab7420c674ae1258f85)
då n ≥ 0, där Bk är Bernoullitalen. En annan formel som inte innehåller Bernoullitalen är
![{\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c975ba4c30fbfcb6511fa4a623be8dfb7cb3422)
Bernoullipolynomens genererande funktion är
![{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859863c56c9cc68b6067a181f25910f361c2a960)
Bernoullipolynomen är de unika polynomen så att
![{\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0296f2ff5bae14981f207746636d3e9f4b62790b)
De första Bernoullipolynomen är
![{\displaystyle B_{0}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9872db89470749143fb817f16f5d83ffd34da7cb)
![{\displaystyle B_{1}(x)=x-1/2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb7f24e15f19d0cafcf4bfd32544f0684863ce4)
![{\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc56150e3fdf89b62cbab3c1e7aba3e4b7f2ad7)
![{\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2417f589f3ea143002c97faa5529955bfc9b57)
![{\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed179b6ff941e63864d41e19fd28f5e24b3a9862)
![{\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6993438423c5e9661c046d185d4be4d9c34c956)
![{\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624152c7addc30b2b7f2a1ee83902a1c2867674e)
Bernoullipolynomens differenser är
![{\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674e6949abbd13bd31e40a3555fde032b4961c70)
Deras derivator är
![{\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0876d768dfe726d064ff98c7d2efdd54d4fa7b0)
![{\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acad87e125dd88f5e587fcf984dab90f78e72855)
![{\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df75c7e9c443adcaa0d9136fdb8968e316c4ab5c)
![{\displaystyle B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747242c87eacfd1a2eeabc0491077bf68ed05ce0)
![{\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24e20f44abbc23747969a6a3b361509d6302fe2)
![{\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d8c0197fcacc58546991e1dba593001f303e90)
![{\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7268fadf8b7499535e4ee427dcb1101a320d3472)
En formel som relaterar Bernoulipolynomen med den fallande fakulteten är
![{\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daec1264d32e9a0d8139e5d17c5f093fa07e4d9)
där
och
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217d89600e22c227df273f7d7c3d0b43e4d6797d)
är Stirlingtalen av andra ordningen.
En formel av Zhi-Wei Sun och Hao Pan är följande: om r + s + t = n och x + y + z = 1 är
![{\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379cf436b579ae7aa5b3ba7998ca31ddfef58b94)
där
![{\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd533d20dd6ab767f9af30cc2d3cf69a3aacc77)
Bernoullipolynomens integral ges av
![{\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44adc79c428e4b2076e70823c4327f602e619eac)
Integralen för produkten av två Bernoullipolynom över intervallet [0,1] ges av
![{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ då }}m,n\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d562bfbe708701ccc9f3b6a8cdb5d33c32d31a)
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Bernoulli polynomials, 6 november 2013.