Barkhausens rörformel

Barkhausens rörformel, uppkallad efter den tyske fysikern Heinrich Barkhausen, härledes från början från elektrotekniken där den användes vid beräkningar av elektronrör. Dess tillämpningsområde är i dagsläget mestadels inom termodynamiken.

Låt F(x,y,z) vara en funktion av klass C¹ från R³ till R.

Antag att F:s partiella derivator är skilda från noll i punkten (a,b,c):

$f_{z}^{\prime }(a,b,c)$ ≠ $0$.

Detta medför (enligt implicita funktionssatsen) att z i en omgivning av (a,b,c) är en partiellt deriverbar funktion av x och y med

${\partial z \over \partial x}=-{\partial f'_{x} \over \partial f'_{z}}.$

På samma sätt leder $f_{y}^{\prime }(a,b,c)$ ≠ $0$ till att

${\partial y \over \partial z}=-{\partial f'_{z} \over \partial f'_{y}}.$

Av $f_{x}^{\prime }(a,b,c)$ ≠ $0$ får vi

${\partial x \over \partial y}=-{\partial f'_{y} \over \partial f'_{x}}.$

Från dessa får vi Barkhausens rörformel

${\partial z \over \partial x}{\partial y \over \partial z}{\partial x \over \partial y}=-1,$

eller, med ett precisare skrivsätt som indikerar vilken variabel som hålls konstant vid den partiella deriveringen,

$\left({\partial z \over \partial x}\right)_{y}\left({\partial y \over \partial z}\right)_{x}\left({\partial x \over \partial y}\right)_{z}=-1.$

Se även

Elektronrör