Auslander–Buchsbaums formel

Inom kommutativ algebra, en del av matematiken, är Auslander–Buchsbaums formel, introducerad av Auslander och Buchsbaum (1957, theorem 3.7), ett resultat som säger att om R är en kommutativ Noethersk lokal ring och M en nollskild ändligtgenererad R-modul av ändlig projektiv dimension, då är

$\mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {djup} (R).$

Här betyder pd projektiva dimensionen av modulen och djup djupet av modulen.

Användningar

Ur Auslander–Buchsbaums formel följer att en Noethersk lokal ring är regelbunden om och bara om den har ändlig global dimension. Detta igen implicerar att lokaliseringen av en regelbunden ring är regelbunden.

Om A är en lokal ändligtgenererad R-algebra (över en regelbunden lokal ring R) följer det ur Auslander–Buchsbaums formel att A är en Cohen–Macaulayring om och bara om pd_RA = codim_RA.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Auslander–Buchsbaum formula, 28 februari 2015.

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1957), ”Homological dimension in local rings”, Transactions of the American Mathematical Society 85: 390–405, ISSN 0002-9947 
• Chapter 19 of Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, "150", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8