θ10

Inom representationsteorin (en gren inom matematiken) är θ₁₀ en kuspidal unipotent komplex irreducibel representation av den symplektiska gruppen Sp₄ över en ändlig, lokal eller global kropp.

Srinivasan (1968) introducerade θ₁₀ för den symplektiska gruppen Sp₄(F_q) över en ändlig kropp F_q av ordning q och visade att den i detta fall är q(q – 1)²/2-dimensionell. Subskriptionen 10 i θ₁₀ är en tillfällighetshistoria: Srinivasan namngav godtyckligt några utmärkande egenskaper i Sp₄(F_q) såsom θ₁, θ₂, ..., θ₁₃, och den tionde råkade ha den kuspidala unipotenta egenskapen.

θ₁₀ är den enda kuspidala unipotenta representationen av Sp₄(F_q). Det är det mest enkla exemplet på en kuspidal unipotent representation av en reduktiv grupp, och även det enklaste exemplet på en degenererad representation (utan en Whittakermodell). Generella linjära grupper har inga kuspidala unipotenta representationer och inga degenererade representationer, så θ₁₀ uppvisar egenskaper av generella reduktiva grupper som inte uppträder för generella linjära grupper.

Howe & Piatetski-Shapiro (1979) använde representationen θ₁₀ över lokala och globala kroppar i deras konstruktion av motexempel till Ramanujans generaliserade förmodan för den symplektiska gruppen. Adams (2004) beskrev representationen θ₁₀ av Liegruppen Sp₄(R) över den lokala kroppen R i detalj.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, [{{fullurl:en:θ₁₀}} θ₁₀], 15 januari 2014.

• Adams, Jeffrey (2004), ”Theta-10”, i Hida, Haruzo; Ramakrishnan, Dinakar; Shahidi, Freydoon, Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory: a volume in honor of Joseph A. Shalika, Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, s. 39–56, ISBN 978-0-8018-7860-2, http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/info/docs/hida_pdfs/hida02.pdf 
• Deshpande, Tanmay (2008). ”An exceptional representation of Sp(4,F_q)”. ''. 
• Gol'fand, Ya. Yu. (1978), ”An exceptional representation of Sp(4,F_q)”, Functional Analysis and its Applications (Institute of Problems in Management, Academy of Sciences of the USSR. Translated from Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya) 12 (4): 83–84, doi:10.1007/BF01076387 .
• Howe, Roger; Piatetski-Shapiro, I. I. (1979), ”A counterexample to the "generalized Ramanujan conjecture" for (quasi-) split groups”, i Borel, Armand; Casselman, W., Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, R.I.: American Mathematical Society, s. 315–322, ISBN 978-0-8218-1435-2, http://www.ams.org/publications/online-books/pspum331-index 
• Kim, Ju-Lee; Piatetski-Shapiro, Ilya I. (2001), ”Quadratic base change of θ₁₀”, Israel Journal of Mathematics 123: 317–340, doi:10.1007/BF02784134 
• Srinivasan, Bhama (1968), ”The characters of the finite symplectic group Sp(4,q)”, Transactions of the American Mathematical Society 131: 488–525, ISSN 0002-9947