Yule–Walker-ekvationerna

Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.

Givet ekvationen

$Y(n)+a_{1}Y(n-1)+a_{2}Y(n-2)+\ldots +a_{N}Y(n-N)=b_{0}X(n)$,

där $X(n)$ är vitt brus, önskas parametrarna $a_{k}$ beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med $Y(n-k)$ fås

$Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)=b_{0}X(n)Y(n-k)$

Väntevärdet av de bägge leden blir

$E[Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)]=E[b_{0}X(n)Y(n-k)]$

$r_{Y}(k)+a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=b_{0}E[X(n)Y(n-k)]$

($r_{Y}(k)$ är $Y$:s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom $Y$ inte beror av framtida värden av $X$ så är

$E[X(n)Y(n-k)]=0,\ k>0$

vilket ger ekvationen

$a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=-r_{Y}(k)$

och ekvationssystemet för $k=1,\ldots ,N$ (notera att $r_{Y}$ är symmetrisk, så $r_{Y}(-k)=r_{Y}(k)$)

${\begin{pmatrix}r_{Y}(0)&r_{Y}(1)&\cdots &r_{Y}(N-1)\\r_{Y}(1)&r_{Y}(0)&\cdots &r_{Y}(N-2)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{Y}(N-1)&r_{Y}(N-2)&\cdots &r_{Y}(0)\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}r_{Y}(1)\\r_{Y}(2)\\\vdots \\r_{Y}(N)\end{pmatrix}}$

Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.