Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.
Givet ekvationen
,
där
är vitt brus, önskas parametrarna
beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med
fås
![{\displaystyle Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)=b_{0}X(n)Y(n-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffceb7cd52d36b7ce705aeaa5b9251b3fe676c4)
Väntevärdet av de bägge leden blir
![{\displaystyle E[Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)]=E[b_{0}X(n)Y(n-k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f52051e36a600d4db69a50672a74972fe4a172)
![{\displaystyle r_{Y}(k)+a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=b_{0}E[X(n)Y(n-k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af02f9ffbaf498d44ca7ba54599a561dd2f98c8)
(
är
:s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom
inte beror av framtida värden av
så är
![{\displaystyle E[X(n)Y(n-k)]=0,\ k>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba52184148e6a962898dce209e6d5c053fe84a93)
vilket ger ekvationen
![{\displaystyle a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=-r_{Y}(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfad7e320ed1c047d1c8ae269f852b06a8789b6)
och ekvationssystemet för
(notera att
är symmetrisk, så
)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{Y}(0)&r_{Y}(1)&\cdots &r_{Y}(N-1)\\r_{Y}(1)&r_{Y}(0)&\cdots &r_{Y}(N-2)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{Y}(N-1)&r_{Y}(N-2)&\cdots &r_{Y}(0)\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}r_{Y}(1)\\r_{Y}(2)\\\vdots \\r_{Y}(N)\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a62d93a1568b0c8845a62bf41412dea5d9d211)
Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.