Weierstrassfunktionen

Weierstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal.

Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass 1872 under sin tid som professor i Berlin. Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

$W(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\cos(b^{k}\pi x)$

där 0 < a < 1 och ab > 1 + 3π/2 och b är ett udda heltal större än 1.

Historia

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade emellertid skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, som dock aldrig publicerades och därför inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen. Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitet

Eftersom

$\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}={\frac {1}{1-a}}$

och

$\left|a^{k}\cos(b^{k}\pi x)\right|\leq a^{k}$

kommer funktionen att vara kontinuerlig på hela ℝ enligt Weierstrass majorantsats.

Bevis av icke-deriverbarhet

Bevisidé

Beviset, utförd enligt, bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att

${\frac {W(x+h)-W(x)}{h}}\neq {\frac {W(x-h)-W(x)}{-h}}$

Börja med att låta x₀ ∈ ℝ och m ∈ ℕ vara två godtyckliga tal.

Välj $\alpha _{m}\in \mathbb {Z}$ så att $b^{m}x_{0}-\alpha \in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]$

och sätt $x_{m+1}=b^{m}x_{0}-\alpha _{m}\Leftrightarrow x_{0}={\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}$

$y_{m}={\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}}$ och $z_{m}={\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}}$.

För att visa att y_m < 0 < z_m görs följande beräkningar:

$y_{m}-x_{0}={\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}}-{\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}={\frac {-1-x_{m+1}}{b^{m}}}=-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}$

$z_{m}-x_{0}={\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}}-{\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}={\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}$

vilket ger olikheten

$y_{m}-x_{0}=-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}<0<{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}=z_{m}-x_{0}$

varför y_m < 0 < z_m.

Samtidigt fås att

$\lim _{m\to \infty }{-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}=0$

dvs y_m → 0 från vänster då m → ∞ och

$\lim _{m\to \infty }{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}=0$

dvs z_m → 0 från höger då m → ∞ efter b > 1.

Uppskattning av vänsterderivatan

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i S₁ och S₂ enligt

${\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=$

$\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi y_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=S_{1}+S_{2}$

Där alltså S₁ är summan av kvoterna från n = 0 till n = m - 1 och S₂ är summan av kvoterna från n = m till oändligheten. S₁ och S₂ behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S₁ uppåt och S₂ nedåt.

Uppskattning av S₁

S₁ skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln $\cos(\alpha )-\cos(\beta )=-2\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})$

samt det faktum att $\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\leq 1$.

$\left|S_{1}\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\right)\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-(ab)^{n}{\frac {1}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\sin \left({\frac {b^{n}\pi y_{m}+b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\sin \left({\frac {b^{n}\pi y_{m}-b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\right)\right|$

$=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-\pi (ab)^{n}\sin \left({\frac {b^{n}\pi (y_{m}+x_{0})}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {b^{n}\pi (y_{m}-x_{0})}{2}}\right)}{\frac {b^{n}\pi (y_{m}-x_{0})}{2}}}\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{m-1}\pi (ab)^{n}=\pi {\frac {(ab)^{m}-1}{ab-1}}\leq \pi {\frac {(ab)^{m}}{ab-1}}$

Uppskattning av S₂

S₂ kan, då b är ett udda heltal och a_m ∈ ℤ skrivas om enligt

$\cos(b^{m+n}\pi y_{m})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}})=\cos(b^{n}(\alpha _{m}-1)\pi )$

och

$=((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}-1}=(-1)^{\alpha _{m}-1}=(-1)^{\alpha _{m}}(-1)=-(-1)^{\alpha _{m}}$

vilket ger

$\cos(b^{m+n}\pi x_{0})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}+x_{m+1}}{b^{m}}}=\cos(b^{n}\pi (\alpha _{m}+x_{m+1}))$

$=\cos \left(b^{n}\pi \alpha _{m}\right)\cos(b^{n}\pi x_{m+1})-\sin(b^{n}\pi \alpha _{m})\sin(b^{n}\pi x_{m+1})$

$=((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})-0\cdot \sin(b^{n}\pi x_{m+1}$

$=(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})$.

Vi får alltså att

$S_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi y_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{y_{m}-x_{0}}}\right)$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m}\cdot a^{n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}}\right)=(ab)^{m}(-1)^{\alpha _{m}}\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}$.

I och med att $x_{m+1}\in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]$ och $\cos(b^{n}\pi x_{m+1})\geq -1$

är alla termer positiva vilket ger att

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}\geq {\frac {1+\cos(\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}\geq {\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}$ .

Resultat

Uppskattningarna av S₁ och S₂ ger att det existerar ett ε₁ ∈ [-1,1] och η₁ > 1 så att

${\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}{\frac {2}{3}}+(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}$

$(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)$.

Uppskattning av högerderivatan

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

${\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=$

$\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi z_{0})}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi z_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=S'_{1}+S'_{2}$

Uppskattning av S’₁

S’₁ skrivs om på samma sätt som S₁.

$\left|S'_{1}\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\right)\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-(ab)^{n}{\frac {1}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\sin \left({\frac {b^{n}\pi z_{m}+b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\sin \left({\frac {b^{n}\pi z_{m}-b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\right)\right|$

$=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-\pi (ab)^{n}\sin \left({\frac {b^{n}\pi (z_{m}+x_{0})}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {b^{n}\pi (z_{m}-x_{0})}{2}}\right)}{\frac {b^{n}\pi (z_{m}-x_{0})}{2}}}\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{m-1}\pi (ab)^{n}=\pi {\frac {(ab)^{m}-1}{ab-1}}\leq \pi {\frac {(ab)^{m}}{ab-1}}$

Uppskattning av S’₂

S’₂ kan uppskattas på samma sätt som S₂ enligt nedan.

$\cos(b^{m+n}\pi z_{m})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}})=\cos(b^{n}(\alpha _{m}+1)\pi )$

$=((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}+1}=(-1)^{\alpha _{m}+1}=-(-1)^{\alpha _{m}}$

Från beräkningen av S₂ fås även att

$\cos(b^{m+n}\pi x_{0})=(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})$

vilket ger att

$S'_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi z_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{z_{m}-x_{0}}}\right)$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m}\cdot a^{n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{-{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}}}\right)=-(ab)^{m}(-1)^{\alpha _{m}}\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}$.

I och med att $x_{m+1}\in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]$ och $\cos(b^{n}\pi x_{m+1})\geq -1$

är alla termer positiva vilket ger att

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}\geq {\frac {1+\cos(\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}\geq {\frac {1}{1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2}{3}}$.

Resultat

Uppskattningarna av S’₁ och S’₂ ger att det existerar ett ε₁ ∈ [-1,1] och η₁ > 1 så att

${\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=-(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)$

Slutsats

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

${\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)$

${\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=-(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)$

Detta tillsammans med att

$\lim _{m\to \infty }(ab)^{m}=\infty$

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.