Väsentligt supremum och väsentligt infimum

Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori.

Bakgrund

Skillnaden mellan vanligt supremum och väsentligt supremum är att nollmängder inte påverkar det väsentliga supremumet. Till exempel, om funktionen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ är definierad som

$f(x)={\begin{cases}e^{-x^{2}},&{\mbox{om }}x\neq 0\\100,&{\mbox{om }}x=0,\end{cases}}$

så är

$\sup f=100$

men för alla $x\neq 0\,$

$f(x)\leq 1\,$.

Det vill säga att det finns bara en punkt där $f(x)>1\,$. Därför kan man säga att det är inte "resonligt" att supremumet för f är 100. Man får ingen informationen från talet 100. $f(x)\leq 1\,$ nästan överallt i $\mathbb {R}$, så att det "väsentliga" supremumet för f borde vara 1. Så man definierar väsentliga supremumet för f till 1. På likartat sätt definieras väsentligt infimum.

Formell definition

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum och en mätbar funktion $f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$.

Väsentligt supremum för f är det minsta reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller $f(x)>r$ är en nollmängd:

$\operatorname {ess} \sup f:=\inf\{r\in \mathbb {R} :\mu (\{x\in X:f(x)>r\})=0\}.$

Väsentligt infimum för f är det största reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller $f(x)<r$ är en nollmängd:

$\operatorname {ess} \inf f:=\sup\{r\in \mathbb {R} :\mu (\{x\in X:f(x)<r\})=0\}.$

Beteckningen "ess" kommer från engelskans "essential" ("väsentlig").

Koppling till vanligt supremum och infimum

Detta kan jämföras med vanligt supremum och infimum. Det går att visa att supremum för mätbara funktionen $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ är det minsta reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller $f(x)>r\,$ är tom:

$\sup f=\inf\{r\in \mathbb {R} :\{x\in X:f(x)>r\}=\varnothing \}$

och infimum för f är det största reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller $f(x)<r\,$ är tom:

$\inf f=\sup\{r\in \mathbb {R} :\{x\in X:f(x)<r\}=\varnothing \}.$

Därför

$\inf f\leq \operatorname {ess} \inf f\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \sup f,\,$

eftersom $\mu (\varnothing )=0.\,$

Tillämpningar

Väsentligt supremum har många tillämpningar inom måtteori och funktionalanalys.

Norm

Huvudartikel: Supremumnormen.

Med väsentligt supremum kan man definiera en norm som kallas väsentlig supremumnorm.

$L^{\infty }\,$-rum

Huvudartikel: L^p-rum.

Med väsentliga supremumnormen kan man definiera begreppet väsentligt begränsad funktion, dvs rummet $L^{\infty }$.

Se även

• Måtteori
• Funktionalanalys