Nolldelare

Om R är en kommutativ ring, så är ett element a ≠ 0 i R en nolldelare, om det finns ett element b ≠ 0 i R, sådant att a·b = 0.

Om en kommutativ ring saknar nolldelare, så kallas den för ett integritetsområde. I en ring, som inte är kommutativ skiljer man på vänsternolldelare och högernolldelare.

Exempel

Heltalen Z, de reella talen R och de komplexa talen C saknar nolldelare.

Matrisen $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ i matrisringen av 2×2-matriser med reella element är en nolldelare, eftersom

$\left({\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right)\,\left({\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right)$.

Produkten av de två kvadratiska matriserna är således lika med nollmatrisen, trots att ingen av dessa är nollmatrisen. I denna ring är nolldelarna de matriser, vilkas determinant är lika med noll.

Egenskaper

En nolldelare är inte inverterbar, för om $ax=0$ följer det att:

$0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x$

Alla idempotenta element $a\neq 1$ är nolldelare, för om $a^{2}=a$ följer det att $a(a-1)=(a-1)a=0$.

Alla nilpotenta element är nolldelare, ty om $a^{n}=0$ följer det att $aa^{n-1}=a^{n-1}a=0$.

Ringen av kongruensklasser modulo n, $\mathbb {Z} _{n}$, har nolldelare om och endast om n är ett sammansatt tal.

Se även

• Kancelleringslagen
• Division med noll

Referenser

Källor

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1, D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey 1958.