Logisk operator

Uppslagsordet ”Konnektiv” leder hit; inom lingvistiken används detta uttryck särskilt om konjunktioner och subjunktioner.

Logisk operator (Logisk grind)
Negation (NOT) Konjunktion (AND, NAND) Disjunktion (OR, XOR, NOR) Implikation Ekvivalens (XNOR)
Se även
Logisk operator (konnektiv) Sanningsfunktion Sanningsvärdetabell De Morgans lagar

En logisk operator är ett konnektiv inom satslogiken, vilket används för att sammanfoga två eller flera satser.

En sats som innehåller sådana operatorer sägs vara sammansatt. Av de enkla satserna "det regnar" och "jag är inomhus" kan man exempelvis skapa de sammansatta satserna "det regnar och jag är inomhus" samt "om det regnar, så är jag inomhus".

De olika operatorerna definieras med hjälp av sanningsvärdetabeller.

Klassiska operatorer

Traditionellt använder man inom sats- och predikatlogik operatorerna

• Negation (¬), "icke", "NOT", en unär operator.
• Konjunktion (∧), "och", "AND".
• (Inklusiv) disjunktion (∨), "eller", "OR".
• Exklusiv disjunktion (X), "antingen-eller", "XOR".
• Materiell implikation (→), "om-så", "IF-THEN".
• Ekvivalens (↔), "om-och-endast-om", "omm", "IFF-THEN".

Inom kretslogik förekommer dessutom

• NOR, "varken-eller"
• NAND

Primitiva operatorer

I den klassiska logiken är inte alla dessa operatorer primitiva, det vill säga nödvändiga för att bygga upp ett formellt logiskt system. Det är tillräckligt med ett mindre antal operatorer för att definiera de övriga. Med exempelvis endast konnektiven negation och konjunktion kan alla de övriga uttryckas.

operator	kan definieras som
A ∨ B	¬(¬A ∧ ¬B)
A → B	¬(A ∧ ¬B)
A ↔ B	(¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(¬A ∧ B))

Henry M. Sheffer och Charles Peirce har till och med visat att det endast behövs en logisk operator för att definiera de klassiska operatorerna, nämligen NAND eller NOR, vilket utnyttjas vid så kallad NAND-logik och NOR-logik (se logiska grindar). Med hjälp av samtliga de övriga operatorerna kan man göra satserna mer förståeliga och närmare vanligt språkbruk.

operator	kan definieras som	eller som
¬A	(A nand A)	A nor A
A ∨ B	(A nand A) nand (B nand B)	(A nor B) nor (A nor B)
A ∧ B	(A nand B) nand (A nand B)	(A nor A) nor (B nor B)
A → B	(A nand B) nand A	((A nor B) nor B) nor ((A nor B) nor B)

Källor

• Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
• Raymond M Smullyanm First-Order Logic, Springet-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 1968.
• Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, 1965.
• Göran Hermerén, Satslogik, Studentlitteratur, Lund 1967.