Komplexkonjugat

Komplexa tal och deras konjugerade värden i det komplexa talplanet. Talen är varandras speglingar i den reella axeln

Komplexkonjugatet till ett komplext tal är det komplexa tal som har samma realdel och där imaginärdelen har samma belopp men är av motsatt tecken. Konjugering innebär att i det komplexa talplanet avbilda talet som dess spegling i den reella axeln. Komplexkonjugatet av ett tal $\ z=a+b\,\mathrm {i}$ betecknas med ${\bar {z}}$ eller $z^{*}$ och kan definieras som

${\bar {z}}={\overline {a+b\,\mathrm {i} }}=a-b\,\mathrm {i} \quad a,b\in \mathbb {R}$

Till exempel är

${\overline {2+3\,\mathrm {i} }}=2-3\,\mathrm {i}$

${\overline {5}}=5$

${\overline {\mathrm {i} }}=-\mathrm {i}$

Egenskaper

För alla komplexa tal $z$ och $w$ gäller

${\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$

${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$ om $w\neq 0$

${\overline {z}}=z\!\$ om och endast om $\ z$ är reellt

$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$

$\arg({\overline {z}})=-\arg(z)$

${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}$

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\ \left|z\right|^{2}}}$ om $z\neq 0$

Komplexkonjugering är ett av de enklaste exemplen på en icke-analytisk funktion.