Initialt objekt

Ett initialt objekt i en kategori ${\mathcal {C}}$ är ett objekt $0$ i ${\mathcal {C}}$ sådant att det för varje annat objekt $x\in {\mathcal {C}}$ finns en unik morfism $0\rightarrow x$. För ett initialt objekt 0 finns alltså en tillordning av en morfism $\operatorname {from} _{0}(x)$ till varje objekt x uppfyllande likheterna

$cod(from_{0}(x))=x$

dom(from_0(x)) = 0

och för varje morfism f sådant att

dom(f) = 0

gäller

f = from_0(cod(f))

I termer av mängder av morfismer mellan olika objekt kan det initiala objektet karaktäriseras som att för godtyckligt objekt x gäller

Mor(0,x) = {from_0(x)}

Två initiala objekt i en kategori är unikt isomorfa, ty om $a$ och $b$ är två initiala objekt finns det enligt definitionen unika morfismer $a\rightarrow b$ och $b\rightarrow a$, och dessa är varandras inverser då deras sammansättningar av samma skäl är identitetsmorfismerna hörande till respektive objekt. Det är därför vanligt att tala om "det initiala objektet" i en kategori.

Exempel

Många vanliga kategorier har initiala objekt:

• I kategorin av mängder är den tomma mängden initial (vilket motiverar beteckningen $0$ för initiala objekt).
• I kategorin av grupper är gruppen med ett element initial.
• I kategorin av ringar är $\mathbb {Z}$ det initiala objektet.
• I kategorin av topologiska rum är det tomma rummet initialt.
• I en ordnad mängd, betraktad som en kategori, är det minsta elementet (om ett sådant finns) initialt.

Andra vanliga kategorier saknar initialt objekt:

• Kategorin av affina schemata har inget initialt objekt.
• Den ordnade mängden av heltal, betraktad som en kategori, har inget initialt objekt (eftersom det inte finns något minsta heltal).

Dualitet

Varje kategoriskt begrepp har ett dualt begrepp som erhålls genom att kasta om alla morfismer i definitionen. Under denna dualitet motsvaras initiala objekt av terminala objekt.