Paraxiell

En paraxiell approximation är inom geometrisk optik en approximation för små vinklar som bygger på taylorutvecklingen av de trigonometriska funktionerna och en paraxiell stråle^[1] är en ljusstråle som avviker så lite från ett optiskt systems axel att paraxiell approximation kan tillämpas.

Inom paraxiell optik, även kallad gaussoptik (efter Carl Friedrich Gauss) eller optik av första ordningen/graden, ersätts de trigonometriska funktionerna med:

\sin \theta \approx \theta \quad \tan \theta \approx \theta \quad \cos \theta \approx 1.

där $\theta$ är den vinkel, uttryckt i radianer, som strålen bildar mot den optiska axeln.

Stundom avses med paraxiell approximation även approximationer av andra ordningen^[2], det vill säga:

\sin \theta \approx \theta \quad \tan \theta \approx \theta \quad \cos \theta \approx 1-{\theta ^{2} \over 2}.

där termerna av andra graden i taylorutvecklingen tagits med (andragradstermer saknas i taylorutvecklingarna för sinus och tangens).

Approximationer av första ordningen ger ett fel på mindre än en procent vid en avvikelse ( $\theta$ ) under åtta grader^[3] och mindre än en promille vid en avvikelse under 2,6°. Andra ordningens approximationer flyttar dock inte gränserna nämnvärt - procentgränsen går vid 10° och promillegränsen vid 3,2°.^[4]

Den optik som ingår i elementär utbildning är helt och hållet paraxiell, medan verkligheten uppvisar avvikelser från gaussoptiken som, i stort sett, sammanfattas under beteckningen aberrationer^[5].

Referenser och noter

Eric W. Weisstein, Paraxial approximation på Wolfram MathWorld.

^ Eriterm : femspråkig ordlista för telekommunikation : svenska, engelska, franska, spanska, tyska, Ericsson Telecom AB 1992, sid. 401.
^ Med "ordning" avses att man tar med termer i utvecklingarna till och med den grad (potens) de har. Optik av tredje ordningen innebär att man för sinus och tangens tar med termen av grad tre, sålunda: $\sin \theta \approx \theta -{\theta ^{3} \over 6}$ och $\tan \theta \approx \theta +{\theta ^{3} \over 3}$ . I fjärde ordningen tillkommer en fjärdegradsterm för cosinus - och så vidare...
^ Eftersom det största felet ges av $\arccos 0,99\approx 8,11^{\circ }$ . För sinus är på motsvarande sätt procentgränsen 14° och för tangens 10°.
^ Men som jämförelse kan noteras att approximationer av tredje ordningen ger ett fel på högst en tiondels promille vid 10° (för tangens - för sinus vid 19° och för cosinus vid 14°).
^ Kromatisk aberration utgör ett undantag eftersom denna beror på skillnader i brytningsindex för ljus av olika våglängder och inte på approximationer av vinklar.

[1] Eriterm : femspråkig ordlista för telekommunikation : svenska, engelska, franska, spanska, tyska, Ericsson Telecom AB 1992, sid. 401.

[2] Med "ordning" avses att man tar med termer i utvecklingarna till och med den grad (potens) de har. Optik av tredje ordningen innebär att man för sinus och tangens tar med termen av grad tre, sålunda: $\sin \theta \approx \theta -{\theta ^{3} \over 6}$ och $\tan \theta \approx \theta +{\theta ^{3} \over 3}$ . I fjärde ordningen tillkommer en fjärdegradsterm för cosinus - och så vidare...

[3] Eftersom det största felet ges av $\arccos 0,99\approx 8,11^{\circ }$ . För sinus är på motsvarande sätt procentgränsen 14° och för tangens 10°.

[4] Men som jämförelse kan noteras att approximationer av tredje ordningen ger ett fel på högst en tiondels promille vid 10° (för tangens - för sinus vid 19° och för cosinus vid 14°).

[5] Kromatisk aberration utgör ett undantag eftersom denna beror på skillnader i brytningsindex för ljus av olika våglängder och inte på approximationer av vinklar.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]