Bilinjär form

Inom linjär algebra sägs en avbildning i två variabler vara bilinjär om den är linjär i varje variabel var för sig.

Definition

En avbildning

$f:V\times W\rightarrow U$

där U, V, W är vektorrum över en kropp K, sägs vara bilinjär om

$f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)\,$

$f(av,w)=af(v,w)\,$

$f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')\,$

$f(v,aw)=af(v,w)\,$

för alla

$v,v'\in V,w,w'\in W$

och

$a\in K$.

Exempel

• Matrismultiplikation är en bilinjär avbildning

$M(m,n)\times M(n,k)\rightarrow M(m,k)$

• Kryssprodukten är en bilinjär avbildning

$R^{3}\times R^{3}\rightarrow R^{3}$.

• Applikationsoperatorn som till ett element

$V\times V^{*}\ni (v,v^{*})\mapsto v^{*}(v)$ är bilinjär.

• Kovarians (sannolikhetsteori) är bilinjär

Egenskaper

De bilinjära avbildningarna utgör ett linjärt delrum till rummet av linjära avbildningar $V\times W\rightarrow U$

Tensorprodukter används för att klassificera bilinjära avbildningar; närmare bestämt, det finns en kanonisk avbildning

$t:U\times V\rightarrow U\otimes V$

så att för varje bilinjär avbildning

$b:U\times V\rightarrow W$

så finns en unik avbildning

$e:U\otimes V\rightarrow W$

så att $b=t\circ e$