Terminalt objekt
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-05) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Ett terminalt objekt i en kategori är ett objekt sådant att det för varje annat objekt finns en unik morfism . För ett terminalt objekt finns alltså en tillordning av en morfism till varje objekt x uppfyllande likheterna
och för varje morfism f sådant att
gäller
I termer av mängder av morfismer mellan olika objekt kan det terminala objektet karaktäriseras som att det för godtyckligt objekt gäller
Två terminala objekt i en kategori är unikt isomorfa, ty om och är två terminala objekt finns det enligt definitionen unika morfismer och , och dessa är varandras inverser då deras sammansättningar av samma skäl är identitetsmorfismerna hörande till respektive objekt. Det är därför vanligt att tala om "det terminala objektet" i en kategori.
Exempel
[redigera | redigera wikitext]Många vanliga kategorier har terminala objekt:
- I kategorin av mängder är varje mängd med precis ett element terminalt (vilket motiverar beteckningen för terminala objekt).
- I kategorin av grupper är gruppen med ett element terminal.
- I kategorin av affina schemata är det terminala objektet.
- I kategorin av topologiska rum är rummet med en enda punkt terminalt.
- I en ordnad mängd, betraktad som en kategori, är det största elementet (om ett sådant finns) terminalt.
Andra vanliga kategorier saknar terminala objekt:
- Kategorin av ringar har inget terminalt objekt.
- Den ordnade mängden av heltal, betraktad som en kategori, har inget terminalt objekt (eftersom det inte finns något största heltal).
Dualitet
[redigera | redigera wikitext]Varje kategoriskt begrepp har ett dualt begrepp som erhålls genom att kasta om alla morfismer i definitionen. Under denna dualitet motsvaras terminala objekt av initiala objekt.